Como determinar valores inteiros para quantidades em problemas de sistema monetário que envolvem múltiplos e divisão?

Resposta

Para que as quantidades envolvidas sejam números inteiros, o numerador da divisão deve ser múltiplo do denominador.

Por exemplo, considere que temos uma equação da forma:
\( a \cdot d + b \cdot x = c \)
e queremos isolar \( x \):
\( x = \frac{c - a \cdot d}{b} \).

Para que \( x \) seja inteiro, o numerador \( c - a \cdot d \) precisa ser múltiplo de \( b \).

Exemplo:

Suponha que uma pessoa compra frutas: maçãs que custam R$ 3,00 cada e laranjas que custam R$ 5,00 cada. Ela gasta R$ 29,00, comprando 4 vezes mais maçãs que laranjas.

Seja \( m \) a quantidade de laranjas e \( 4m \) a quantidade de maçãs. O custo total pode ser representado por:

\( 3 \times 4m + 5 \times m = 29 \)

\( 12m + 5m = 29 \Rightarrow 17m = 29 \)

Para que \( m \) seja inteiro, \( 29 \) precisa ser múltiplo de 17, o que não é. Portanto, não há solução inteira para essa quantidade.

Se ajustarmos o gasto para R$ 34,00:

\( 17 m = 34 \Rightarrow m = 2 \)

Assim, a pessoa compra 2 laranjas e \(4 \times 2 = 8\) maçãs, todos números inteiros.