Flashcard FC189442
Como aplicar propriedades dos logaritmos para resolver equações exponenciais que envolvem crescimento e decrescimento?
Logaritmo
CESGRANRIO · 2024
Como aplicar propriedades dos logaritmos para resolver equações exponenciais que envolvem crescimento e decrescimento?
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Resposta
Para resolver equações exponenciais com bases diferentes, usamos logaritmos aplicando a propriedade:\(a^x = b \Rightarrow x = \frac{\log b}{\log a}\)
Exemplo:
Suponha que uma população cresce 5% ao ano e outra decresce 3% ao ano.
Queremos saber em quantos anos essas populações serão iguais, se inicialmente a primeira for 4 vezes maior que a segunda.
Sejam \(P\) e \(Q\) os tamanhos iniciais, com \(P = 4Q\).
Após \(x\) anos:
\(P \cdot (0,97)^x = Q \cdot (1,05)^x\)
Substituindo \(P = 4Q\):
\(4Q \cdot (0,97)^x = Q \cdot (1,05)^x \Rightarrow 4 \cdot (0,97)^x = (1,05)^x\)
Dividindo ambos os lados por \((0,97)^x\):
\(4 = \left(\frac{1,05}{0,97}\right)^x\)
Aplicando logaritmo base 10:
\(\log 4 = x \cdot \log\left(\frac{1,05}{0,97}\right)\)
Isolando \(x\):
\(x = \frac{\log 4}{\log 1,05 - \log 0,97}\)
Assim, usando propriedades do logaritmo, conseguimos determinar o tempo necessário para que os valores sejam iguais.
Veja como foi cobrado:
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