Flashcard FC189447
Como determinar se a sequência obtida a partir do logaritmo de potências de uma progressão geométrica é uma progressão aritmética?
Logaritmo
CESGRANRIO · 2014
Como determinar se a sequência obtida a partir do logaritmo de potências de uma progressão geométrica é uma progressão aritmética?
Mostrar resposta e comentário
Resposta
Multiplicar o logaritmo pelo expoente transforma potências em multiplicações, e aplicar logaritmo em uma PG converte a razão exponencial em diferença constante, caracterizando uma PA.Quando temos uma sequência \(\{a_n\}\) em progressão geométrica, definida por \(a_n = a_1 \cdot q^{n-1}\), calcular \(b_n = \log_c((a_n)^k)\) equivale a:
\(b_n = \log_c(a_n^k) = k \cdot \log_c(a_1 \cdot q^{n-1}) = k \cdot [\log_c(a_1) + (n-1)\log_c(q)]\).
Note que \(b_n\) pode ser escrita como:
\(b_n = k \log_c(a_1) + k (n-1) \log_c(q)\),
que é a forma geral de uma progressão aritmética, onde a diferença comum é \(r = k \log_c(q)\).
Exemplo:
Considere a PG \(\{a_n\}\) com \(a_1=9\) e razão \(q=3\).
Defina \(b_n = \log_3((a_n)^2)\).
Calculando:
\(b_n = 2 \cdot \log_3(9 \cdot 3^{n-1}) = 2 \cdot [\log_3 9 + (n-1) \log_3 3] = 2 \cdot (2 + (n-1) \times 1) = 2 \times (n + 1)\).
Assim a sequência \(b_n\) é:
\(b_1 = 2 \times (1 + 1) = 4\),
\(b_2 = 2 \times (2 + 1) = 6\),
\(b_3 = 2 \times (3 + 1) = 8\),
com diferença constante \(r = 2\). Portanto, \(b_n\) é uma progressão aritmética.
Veja como foi cobrado:
https://flashcardsconcursos.com.br/portal/flashcard/188312
Conteúdo do catálogo FC Concursos · Atualizado em