Como calcular a expressão envolvendo o produto de dois logaritmos com bases diferentes usando a mudança de base para logaritmos base 10?

Resposta

Utilizando a mudança de base, o produto de logaritmos em bases diferentes pode ser reescrito em termos de logaritmos na base 10, facilitando a simplificação.

Por exemplo, dado \( \log_a b \) e \( \log_c d \), usa-se:

\(\log_a b = \frac{\log_{10} b}{\log_{10} a}\) e \(\log_c d = \frac{\log_{10} d}{\log_{10} c}\).

Assim, o produto \( \log_a b \cdot \log_c d = \frac{\log_{10} b}{\log_{10} a} \cdot \frac{\log_{10} d}{\log_{10} c} \).

Exemplo:
Calcule \( \log_4 7 \times \log_7 16 \) usando logaritmos base 10.

Aplicando a mudança de base:

\(\log_4 7 = \frac{\log_{10} 7}{\log_{10} 4}\)

\(\log_7 16 = \frac{\log_{10} 16}{\log_{10} 7}\)

Multiplicando:

\(\log_4 7 \times \log_7 16 = \frac{\log_{10} 7}{\log_{10} 4} \times \frac{\log_{10} 16}{\log_{10} 7} = \frac{\log_{10} 16}{\log_{10} 4}\)

Note que \(\log_{10} 7\) cancela, sobrando:

\(\frac{\log_{10} 16}{\log_{10} 4} = \log_4 16\)

Sabemos que \(16 = 4^2\), então:

\(\log_4 16 = 2\)

Portanto, \( \log_4 7 \times \log_7 16 = 2\).