Como utilizar a propriedade dos logaritmos para transformar uma desigualdade envolvendo diferença de logaritmos em uma desigualdade envolvendo a razão entre os argumentos?

Resposta

Usando a propriedade logaritmo da diferença = logaritmo do quociente, temos que \( \log_b(x) - \log_b(y) = \log_b\left(\frac{x}{y}\right) \).

Exemplo:
Considere a desigualdade \(1 < \log_2(m) - \log_2(n) < 4\).

Aplicando a propriedade:
\(1 < \log_2\left(\frac{m}{n}\right) < 4\).

Elevando à base 2:
\(2^1 < \frac{m}{n} < 2^4\)
Ou seja,
\(2 < \frac{m}{n} < 16\).

Isso transforma a desigualdade de logaritmos em uma desigualdade sobre a razão dos números \(m\) e \(n\), facilitando a análise.