Como determinar o valor de \(\beta\) na função \( f(x) = 10^{\beta x} \) quando é dado um ponto \((x_0, y_0)\) do gráfico?

Resposta

Para encontrar \(\beta\), aplicamos o logaritmo de base 10 na igualdade \(y_0 = 10^{\beta x_0}\), obtendo \(\log_{10}(y_0) = \beta x_0\). Depois, isolamos \(\beta\) como \(\beta = \frac{\log_{10}(y_0)}{x_0}\).

Exemplo:
Suponha que a função seja \(f(x) = 10^{\beta x}\) e passe pelo ponto \((3, 100)\). Para determinar \(\beta\):

Temos \(100 = 10^{3\beta}\).
Aplicando o logaritmo base 10:
\(\log_{10}(100) = \log_{10}(10^{3\beta})\)
\(2 = 3\beta\)
\(\beta = \frac{2}{3}\).

Assim, \(\beta = \frac{2}{3}\) é o valor que ajusta a curva para passar pelo ponto dado.