Como isolar uma variável em uma equação do tipo \(xy - x - y = k\) para encontrar um valor máximo ou mínimo de um dos números inteiros positivos?

Resposta

Isolamos uma das variáveis, por exemplo, \(x\), escrevendo a equação na forma \(x(y - 1) = k + y\), para facilitar a análise do problema.

Isso permite estudar como o valor de uma variável depende da outra, possibilitando encontrar valores máximos ou mínimos ao considerar as restrições do problema (como números inteiros positivos).

Exemplo:

Considere dois números inteiros positivos \(a\) e \(b\) tais que:

\(a \cdot b = 50 + (a + b)\)

Reorganizando:

\(a b - a - b = 50\)

Isolando \(a\):

\(a (b - 1) = 50 + b\)

Assim,

\(a = \dfrac{50 + b}{b - 1}\)

Para que \(a\) seja inteiro positivo, testamos valores inteiros de \(b > 1\).

Por exemplo, se \(b = 2\),

\(a = \dfrac{50 + 2}{2 - 1} = \dfrac{52}{1} = 52\)

Se \(b = 3\),

\(a = \dfrac{50 + 3}{3 - 1} = \dfrac{53}{2} = 26,5\) (não inteiro)

Se \(b = 5\),

\(a = \dfrac{50 + 5}{5 - 1} = \dfrac{55}{4} = 13,75\) (não inteiro)

O valor máximo de \(a\) ocorre quando \(b\) é mínimo (aqui, \(b=2\)), então o maior valor inteiro possível para \(a\) é 52.