Como montar e resolver um sistema de equações para encontrar valores individuais quando um termo é dado em função da soma dos outros termos?

Resposta

Para montar e resolver um sistema de equações nessas situações: expressamos cada valor como uma fração da soma dos outros valores,
formamos equações baseadas nessas relações e na soma total, e resolvemos o sistema para encontrar cada valor.

Exemplo:

Três pessoas pagaram um total de R$ 90,00. A primeira pagou metade do que as outras duas juntas,
a segunda pagou um terço do que as outras duas juntas.
Quanto pagou a terceira?

Definindo \(x\), \(y\) e \(z\) como os valores pagos pelas três pessoas respectivamente:

\(x + y + z = 90\) (total)

\(x = \frac{y + z}{2}\)

\(y = \frac{x + z}{3}\)

Substituindo e resolvendo:

\(x = \frac{y + z}{2} \Rightarrow 2x = y + z\)

Da soma total: \(x + y + z = 90 \Rightarrow y + z = 90 - x\)

Então: \(2x = 90 - x \Rightarrow 3x = 90 \Rightarrow x = 30\)

Agora, substituímos \(x\) para encontrar \(y\):

\(y = \frac{30 + z}{3}\)

E usamos o total para encontrar \(z\):

\(30 + y + z = 90 \Rightarrow y + z = 60\)

Substituindo \(y\):

\(\frac{30 + z}{3} + z = 60\)

Multiplicamos tudo por 3:

\(30 + z + 3z = 180 \Rightarrow 4z = 150 \Rightarrow z = 37.5\)

Então, \(y = \frac{30 + 37.5}{3} = \frac{67.5}{3} = 22.5\)

Assim, a terceira pessoa pagou R$ 37,50.