Como montar e resolver um sistema de equações a partir de relações entre quantidades iniciais e posteriores em problemas envolvendo igualdade e proporção?

Resposta

Para resolver problemas que envolvem quantidades iniciais e posteriores com relações de igualdade ou proporção, monta-se um sistema de equações utilizando variáveis para as quantidades desconhecidas e expressões que traduzem as condições dadas.

Exemplo: Imagine que uma caixa contém certa quantidade de canetas azuis (\(a\)) e vermelhas (\(v\)), totalizando 60 canetas:

\(a + v = 60\)

Se forem retiradas 10 canetas azuis e 5 vermelhas, e a quantidade restante de canetas vermelhas for o triplo das azuis restantes, podemos expressar isso como:

\(v - 5 = 3(a - 10)\)

Substituímos \(v\) da primeira equação na segunda:

\( (60 - a) - 5 = 3(a - 10) \)

Simplificando:

\(55 - a = 3a - 30\)

Isolando \(a\):

\(55 + 30 = 3a + a \Rightarrow 85 = 4a\)

\(a = \frac{85}{4} = 21,25\)

Esse valor indica a quantidade inicial de canetas azuis. Assim, usando essa técnica de montar e resolver sistemas, podemos encontrar quantidades desconhecidas em problemas com condições que envolvem proporções e igualdades após alterações.