Como determinar os coeficientes de uma função quadrática \( f(x) = ax^2 + bx + c \) sabendo o valor máximo da função e o respectivo ponto onde ele ocorre?

Resposta

Para encontrar os coeficientes, utiliza-se que o valor máximo ocorre onde a derivada é zero, ou seja, \( f'(x) = 0 \), e que \( f(x) \) assume o valor dado nesse ponto.
Também aproveita-se o valor da função em um ponto conhecido para determinar os coeficientes.

Exemplo:

Considere \( f(x) = ax^2 + bx + c \), com máximo em \( x=3 \) e \( f(3)=10 \), além de \( f(0) = 4 \).

1. Como o máximo ocorre em \( x=3 \), temos:
\( f'(x) = 2ax + b \Rightarrow f'(3) = 0 \Rightarrow 6a + b = 0 \Rightarrow b = -6a \).

2. Sabendo \( f(0) = c = 4 \).

3. Usando \( f(3) = 9a + 3b + c = 10 \) substituímos \( b \) e \( c \):
\( 9a + 3(-6a) + 4 = 10 \Rightarrow 9a - 18a + 4 = 10 \Rightarrow -9a = 6 \Rightarrow a = -\frac{2}{3} \).

4. Então, \( b = -6a = -6 \times \left(-\frac{2}{3}\right) = 4 \).

Portanto, a função é:
\( f(x) = -\frac{2}{3}x^2 + 4x +4 \).