Como demonstrar a desigualdade envolvendo um número \( x \) real no intervalo \(0 < x < 1\), quando calculamos \( y = \frac{x + x^2}{2} \), de modo a encontrar uma relação entre \(

Resposta

Para \(0 < x < 1\), tem-se sempre a desigualdade \(x^2 < y < x\), onde \(y = \frac{x + x^2}{2}\).

Explicação:
Sabendo que \(0 < x < 1\), temos que \(x^2 < x\), pois elevar um número menor que 1 ao quadrado diminui seu valor.
O valor de \(y\) é a média aritmética entre \(x\) e \(x^2\), portanto está necessariamente entre esses dois valores.
Ou seja, \(y = \frac{x + x^2}{2}\) é maior que \(x^2\) e menor que \(x\).

Exemplo prático:
Considere \(x = 0,5\) (que está no intervalo \(0 < x < 1\)).
Calculamos a seguir:
\(x^2 = 0,5^2 = 0,25\)
\(y = \frac{0,5 + 0,25}{2} = \frac{0,75}{2} = 0,375\)
Observe que \(0,25 < 0,375 < 0,5\), ou seja, \(x^2 < y < x\).
Assim, essa demonstração e exemplo confirmam que \(y\) está entre \(x^2\) e \(x\).