Como montar e resolver uma equação do 2º grau a partir de uma expressão que envolve frações com variáveis no denominador?

Resposta

Para montar a equação, multiplica-se toda a expressão pelo mínimo comum múltiplo dos denominadores, eliminando as frações e formando uma equação do 2º grau que pode ser resolvida por Bhaskara.

Exemplo:

Suponha que um objeto percorre duas distâncias em dois meios diferentes. Na primeira, sua velocidade média é \(v\) km/h, e na segunda, 3 km/h a mais. Se ele percorreu 60 km no primeiro trajeto e 40 km no segundo, gastando ao todo 2 horas, a equação que relaciona \(v\) é:

\( \frac{60}{v} + \frac{40}{v + 3} = 2 \)

Multiplicando toda a equação por \(v(v + 3)\):

\(60(v+3) + 40v = 2v(v+3)\)

Desenvolvendo e organizando:

\(60v + 180 + 40v = 2v^2 + 6v \Rightarrow 2v^2 + 6v - 100v - 180 = 0\)

\(2v^2 - 94v - 180 = 0\)

Dividindo por 2 para simplificar:

\(v^2 - 47v - 90 = 0\)

A partir daqui, aplica-se Bhaskara para encontrar as soluções para \(v\).