Como calcular a soma dos inversos das raízes de uma equação quadrática a partir dos seus coeficientes?

Resposta

A soma dos inversos das raízes pode ser calculada usando a fórmula:

\(\dfrac{1}{x_1} + \dfrac{1}{x_2} = \dfrac{x_1 + x_2}{x_1 x_2}\)

Sabemos que a soma das raízes é \(-\frac{b}{a}\) e o produto das raízes é \(\frac{c}{a}\). Portanto:

\(\dfrac{1}{x_1} + \dfrac{1}{x_2} = \dfrac{-\frac{b}{a}}{\frac{c}{a}} = -\dfrac{b}{c}\)

Exemplo:

Considere a equação quadrática \(5x^2 + 2x - 3 = 0\).

Coeficientes: \(a = 5\), \(b = 2\), \(c = -3\).

Calculando a soma das raízes:

\(x_1 + x_2 = -\frac{b}{a} = -\frac{2}{5}\)

Calculando o produto das raízes:

\(x_1 \cdot x_2 = \frac{c}{a} = \frac{-3}{5}\)

Assim, a soma dos inversos das raízes será:

\(\dfrac{1}{x_1} + \dfrac{1}{x_2} = \dfrac{x_1 + x_2}{x_1 x_2} = \dfrac{-\frac{2}{5}}{\frac{-3}{5}} = \dfrac{-\frac{2}{5}}{-\frac{3}{5}} = \dfrac{-2/5}{-3/5} = \dfrac{-2}{5} \times \dfrac{5}{-3} = \dfrac{2}{3}\)