Flashcard FC189567
Como resolver equações exponenciais transformando-as em equações quadráticas através de substituição adequada?
Equações
CESGRANRIO · 2024
Como resolver equações exponenciais transformando-as em equações quadráticas através de substituição adequada?
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Resposta
Para resolver equações exponenciais, pode-se fazer a substituição da expressão da base elevada à incógnita por uma variável, transformando a equação em uma quadrática.Por exemplo:
Considere a equação:
\( 9^x - 6 \cdot 3^x + 5 = 0 \)
Como \( 9 = 3^2 \), podemos reescrever:
\( 9^x = (3^2)^x = (3^x)^2 \)
Fazemos a substituição \( 3^x = t \), então a equação vira:
\( t^2 - 6t + 5 = 0 \)
Resolvendo a equação quadrática:
\(\Delta = (-6)^2 - 4 \cdot 1 \cdot 5 = 36 - 20 = 16 > 0\)
Logo, as raízes de \( t \) são:
\( t = \frac{6 \pm \sqrt{16}}{2} = \frac{6 \pm 4}{2} \)
Ou seja, \( t_1 = 5 \) e \( t_2 = 1 \)
Substituímos de volta:
\( 3^x = 5 \Rightarrow x = \log_3 5 \)
\( 3^x = 1 \Rightarrow x = \log_3 1 = 0 \)
Assim, as soluções reais da equação original são \( x = \log_3 5 \) e \( x = 0 \).
Veja como foi cobrado:
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