Flashcard FC189568
Como podemos simplificar expressões com potências de mesma base e utilizar isso para resolver equações exponenciais?
Equações
CESGRANRIO · 2014
Como podemos simplificar expressões com potências de mesma base e utilizar isso para resolver equações exponenciais?
Mostrar resposta e comentário
Resposta
Para simplificar expressões com potências de mesma base, somamos ou subtraímos os expoentes conforme as propriedades das potências, fatorando para facilitar a resolução.Explicação:
Quando temos termos com a mesma base, podemos usar as propriedades das potências para simplificar:
Multiplicação: \(a^m \cdot a^n = a^{m+n}\)
Divisão: \(\frac{a^m}{a^n} = a^{m-n}\)
Potência de potência: \(\left(a^m\right)^n = a^{m \cdot n}\)
Ao fatorar termos em comum, conseguimos reduzir a expressão e igualar potências para encontrar o valor da incógnita.
Exemplo:
Considere a equação:
\[\frac{3^{2x} + 3^{2x+1}}{3^{x-1} + 3^x} = 9\]
Podemos reescrever o numerador:
\[ 3^{2x} + 3^{2x+1} = 3^{2x} (1 + 3) = 3^{2x} \cdot 4 \]
O denominador:
\[ 3^{x-1} + 3^x = 3^{x-1} (1 + 3) = 3^{x-1} \cdot 4 \]
Substituindo na equação:
\[ \frac{3^{2x} \cdot 4}{3^{x-1} \cdot 4} = 9 \implies \frac{3^{2x}}{3^{x-1}} = 9 \]
Simplificando usando a divisão de potências:
\[ 3^{2x - (x -1)} = 3^{x +1} = 9 \]
Sabemos que \(9 = 3^2\), então:
\[ 3^{x+1} = 3^2 \implies x + 1 = 2 \implies x=1 \]
Assim, \(x=1\) é solução da equação.
Veja como foi cobrado:
https://flashcardsconcursos.com.br/portal/flashcard/188435
Conteúdo do catálogo FC Concursos · Atualizado em