Flashcard FC189570
Como resolver uma equação exponencial que pode ser transformada em uma equação quadrática através de uma substituição?
Equações
CESGRANRIO · 2012
Como resolver uma equação exponencial que pode ser transformada em uma equação quadrática através de uma substituição?
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Resposta
Faça a substituição de uma potência comum por uma variável para transformar a equação exponencial em uma equação do segundo grau, resolva essa equação e, em seguida, volte para a variável original usando logaritmos.Explicação detalhada:
Quando você se depara com uma equação do tipo \(a^{2x} - b a^{x} + c = 0\), observe que pode reescrever \(a^{2x}\) como \((a^{x})^2\).
Assim, faça a substituição \(y = a^{x}\), tornando a equação em uma quadrática \(y^2 - b y + c = 0\).
Depois de resolver essa equação, utilize logaritmos para encontrar \(x\), pois \(y = a^{x} \implies x = \log_a y\).
Exemplo:
Considere a equação \(4^{x} - 5 \cdot 2^{x} + 6 = 0\).
Observe que \(4^{x} = (2^2)^{x} = (2^{x})^2\).
Substituindo \(y=2^{x}\), temos:
\(y^2 - 5 y + 6 = 0\)
Resolvendo:
\(y = \frac{5 \pm \sqrt{25 - 24}}{2} = \frac{5 \pm 1}{2}\)
Logo:
\(y_1 = 3\), \(y_2 = 2\)
Agora, voltando para \(x\):
\(2^{x} = 3 \implies x = \log_2 3\)
\(2^{x} = 2 \implies x = \log_2 2 = 1\)
Portanto, a equação possui soluções \(x = \log_2 3\) e \(x = 1\).
Veja como foi cobrado:
https://flashcardsconcursos.com.br/portal/flashcard/188437
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