Como transformar e resolver uma equação logarítmica quadrática usando substituição para encontrar as raízes de \(x\)?

Resposta

Utiliza-se a substituição \(z = \log(x)\) para transformar a equação logarítmica em uma equação quadrática em \(z\).

Depois, resolve-se a equação quadrática tradicionalmente e, em seguida, retorna-se a variável \(x\) pela inversa do logaritmo.

Exemplo:
Considere a equação:

\([\log(x)]^2 + 3 \log(x) - 4 = 0 \)

Substituindo \(z = \log(x)\), temos:

\(z^2 + 3z - 4 = 0\)

Calculando o discriminante:

\(\Delta = 3^2 - 4 \cdot 1 \cdot (-4) = 9 + 16 = 25\)

Raízes:

\(z = \frac{-3 \pm \sqrt{25}}{2} = \frac{-3 \pm 5}{2}\)

Logo,

\(z_1 = 1\), \(z_2 = -4\)

Voltando para \(x\):

\(x_1 = 10^{1} = 10\),
\(x_2 = 10^{-4} = 0{,}0001\)

Assim, a equação original tem raízes \(x_1 = 10\) e \(x_2 = 0{,}0001\).