Como verificar que uma expressão com raízes cúbicas que envolve termos conjugados é raiz real de uma equação polinomial cúbica?

Resposta

Basta elevar a expressão ao cubo e simplificar usando propriedades das raízes e produtos dos radicais para verificar se a equação polinomial é satisfeita.

Para explicar melhor, considere a expressão \( y = \sqrt[3]{a} + \sqrt[3]{b} \), onde \(a\) e \(b\) são números reais tais que \(ab = c\), um número conhecido. Ao elevar \(y\) ao cubo, usamos a expansão:

\[ y^3 = a + b + 3\sqrt[3]{ab} \cdot y \]

Se conseguirmos reescrever isso como um polinômio na forma \(y^3 - 3\sqrt[3]{ab}y - (a + b) = 0\), então \(y\) é raiz dessa equação.

Exemplo: Seja a expressão \( y = \sqrt[3]{5 + 2\sqrt{6}} + \sqrt[3]{5 - 2\sqrt{6}} \). Note que o produto dos radicais no interior é:

\( (5 + 2\sqrt{6})(5 - 2\sqrt{6}) = 25 - (2\sqrt{6})^2 = 25 - 4 \cdot 6 = 25 - 24 = 1 \).

Elevando ao cubo:

\[ y^3 = (5 + 2\sqrt{6}) + (5 - 2\sqrt{6}) + 3 \times \sqrt[3]{1} \times y = 10 + 3y \]

Rearranjando:

\[ y^3 - 3y - 10 = 0 \]

Portanto, \(y\) satisfaz a equação cúbica \(x^3 - 3x - 10 = 0\).