Como calcular a soma dos primeiros \( n \) termos de uma progressão aritmética cujos termos são números inteiros ímpares consecutivos?

Resposta

Para uma PA de termos ímpares consecutivos com primeiro termo \( a_1 = 1 \) e razão \( r = 2 \), a soma dos primeiros \( n \) termos é dada por \( S = n^2 \).

Isso ocorre porque o \( n \)-ésimo termo é \( a_n = 2n - 1 \), e a fórmula da soma da PA é:

\( S = \frac{n}{2} \cdot (a_1 + a_n) \)

Substituindo:

\( S = \frac{n}{2} \cdot (1 + (2n - 1)) = \frac{n}{2} \cdot 2n = n^2 \)

Exemplo prático:
Considere a soma dos primeiros \( n \) números ímpares consecutivos começando em 1, por exemplo, queremos saber a soma dos 5 primeiros números ímpares: \( 1, 3, 5, 7, 9 \).

Aplicando a fórmula:

\( S = 5^2 = 25 \)

Podemos confirmar somando diretamente: \( 1 + 3 + 5 + 7 + 9 = 25 \).