Flashcard FC189594
Como calcular o enésimo termo de uma sequência cujo sucessor da sequência original forma uma progressão aritmética?
Progressão Aritmética
CESGRANRIO · 2018
Como calcular o enésimo termo de uma sequência cujo sucessor da sequência original forma uma progressão aritmética?
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Resposta
Para encontrar o enésimo termo da sequência original, soma-se os primeiros (n-1) termos da progressão aritmética formada pelos incrementos entre os termos.Em uma sequência \(\{a_n\}\), se \(b_n = a_{n+1} - a_n\) forma uma progressão aritmética com primeiro termo \(b_1\) e razão \(r\), então:
\[a_n = a_1 + \sum_{k=1}^{n-1} b_k = a_1 + S_{n-1}\] onde \[S_{n-1} = \frac{(n-1)}{2} \times \left(2b_1 + (n-2)r\right)\] é a soma dos primeiros (n-1) termos da PA \(b_n\).
Exemplo: Se \(a_1 = 2\) e a sequência \(b_n = a_{n+1}-a_n\) é uma PA com \(b_1 = 5\) e razão \(r = 3\), qual o valor de \(a_5\)?
Calculamos a soma dos primeiros 4 termos de \(b_n\):
\[b_n = 5, 8, 11, 14, \dots\] \[S_4 = \frac{4}{2} \times (5 + 14) = 2 \times 19 = 38\] Logo, \[a_5 = a_1 + S_4 = 2 + 38 = 40\]
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Veja como foi cobrado:
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