Flashcard FC189596
Qual é o efeito da diferença constante entre termos de uma progressão aritmética na combinação linear das somas parciais \(S_n\) que segue o padrão do binômio de Newton?
Progressão Aritmética
CESGRANRIO · 2018
Qual é o efeito da diferença constante entre termos de uma progressão aritmética na combinação linear das somas parciais \(S_n\) que segue o padrão do binômio de Newton?
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Resposta
Em uma PA, a diferença constante faz com que combinações como \( S_{n+3} - 3S_{n+2} + 3S_{n+1} - S_n \) se anulem, resultando em zero.Isso ocorre porque os termos \(a_n\) formam uma sequência linear, e o operador \( \Delta^3 \) aplicado à soma \(S_n\) é zero.
Exemplo:
Considere uma PA com \(a_1 = 4\) e razão \(r = 5\):
\(a_n = 4 + (n-1) \times 5\)
A soma dos primeiros \(n\) termos é:
\(S_n = \frac{n}{2} [2 \times 4 + (n-1) \times 5] = \frac{n}{2} (8 + 5n - 5) = \frac{n}{2} (3 + 5n)\)
Calculando
\(S_{n+3} - 3S_{n+2} + 3S_{n+1} - S_n = 0\), pois os termos satisfazem essa identidade devido à estrutura linear da PA.
Assim, tais combinações de somas parciais sempre resultam em zero para qualquer PA.
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Veja como foi cobrado:
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