Flashcard FC189597
Como se determina a razão de uma progressão aritmética a partir da igualdade entre a soma dos quadrados de seus termos?
Progressão Aritmética
CESGRANRIO · 2018
Como se determina a razão de uma progressão aritmética a partir da igualdade entre a soma dos quadrados de seus termos?
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Resposta
Encontrando a razão da P.A. igualando as somas dos quadrados dos termos conforme a condição dada, e resolvendo a equação resultante.Para determinar a razão \( r \) de uma progressão aritmética quando é dada uma relação envolvendo a soma dos quadrados de seus termos, devemos expressar cada termo da P.A. em função do primeiro termo e \( r \). Em seguida, montamos as expressões algébricas que representam as somas que devem ser iguais (ou atender à condição dada). Igualando essas somas, obtemos uma equação em \( r \), geralmente quadrática, que pode ser resolvida usando a fórmula de Bhaskara.
Exemplo:
Considere uma P.A. de 4 termos, com primeiro termo \( a_1 = 2 \) e razão \( r \). Suponha que a soma dos quadrados do primeiro e segundo termos seja igual à soma dos quadrados do terceiro e quarto termo.
Os termos são:
\( a_1 = 2 \), \( a_2 = 2 + r \), \( a_3 = 2 + 2r \), \( a_4 = 2 + 3r \)
Soma dos quadrados do 1º e 2º termos:
\( 2^2 + (2+r)^2 = 4 + (4 + 4r + r^2) = 8 + 4r + r^2 \)
Soma dos quadrados do 3º e 4º termos:
\( (2 + 2r)^2 + (2 + 3r)^2 = (4 + 8r + 4r^2) + (4 + 12r + 9r^2) = 8 + 20r + 13r^2 \)
Igualando:
\( 8 + 4r + r^2 = 8 + 20r + 13r^2 \)
Reorganizando:
\( 0 = 16r + 12r^2 \Rightarrow 12r^2 + 16r = 0 \)
Resolvendo para \( r \):
\( r(12r + 16) = 0 \Rightarrow r=0 \) ou \( r = -\frac{16}{12} = -\frac{4}{3} \)
Assim, as possíveis razões são 0 e \(-\frac{4}{3}\). Descartando \( r=0 \) (progressão constante), a razão da P.A. é \(-\frac{4}{3}\).
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