Como determinar a razão de uma progressão geométrica quando seus termos são expressos em função de uma progressão aritmética?

Resposta

Igualando as razões entre termos consecutivos, usando as expressões em função da PA, para encontrar a razão da PG.

Por exemplo, considere três números em progressão aritmética com razão 5:
\(a, a+5, a+10\).

Suponha que três termos formem uma progressão geométrica com estes elementos:
\(a, (a+10) + 5, (a+5) + 15\).
Substituindo, temos:
\(a, a+15, a+20\).

Para a PG, a razão \(r\) satisfaz:
\(r = \frac{a+15}{a} = \frac{a+20}{a+15}\).

Igualando:
\( (a+15)^2 = a(a+20) \)
\( a^2 + 30a + 225 = a^2 + 20a \)
\(30a + 225 = 20a\)
\(10a = -225 \Rightarrow a = -22.5\) (não natural, mas só para exemplificar)

Assim, a razão da PG é:
\(r = \frac{-22.5 + 15}{-22.5} = \frac{-7.5}{-22.5} = \frac{1}{3}\).

Esse processo mostra a relação entre as razões das progressões para encontrar o valor desejado.