Flashcard FC189602
Como montar e resolver uma equação que relaciona o produto e a soma de três termos consecutivos de uma progressão aritmética de razão 1?
Progressão Aritmética
CESGRANRIO · 2014
Como montar e resolver uma equação que relaciona o produto e a soma de três termos consecutivos de uma progressão aritmética de razão 1?
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Resposta
Para montar a equação: represente os três termos consecutivos como \(x - 1\), \(x\), e \(x + 1\). O produto é \((x - 1) \cdot x \cdot (x + 1)\) e a soma é \((x - 1) + x + (x + 1) = 3x\).Monte a equação igualando o produto a um múltiplo da soma, por exemplo: \((x - 1) \cdot x \cdot (x + 1) = k \cdot 3x\).
Depois, simplifique e resolva a equação resultante para encontrar \(x\).
Exemplo:
Suponha que o produto de três termos consecutivos de uma PA de razão 1 seja igual a quatro vezes a soma desses termos. Se os termos são \(x-1\), \(x\), e \(x+1\), temos: \[(x - 1) \cdot x \cdot (x + 1) = 4 \cdot \bigl( (x - 1) + x + (x + 1) \bigr)\] Simplificando a soma: \[(x - 1) + x + (x + 1) = 3x\] Então: \[(x^2 - 1) \cdot x = 4 \cdot 3x\] \[x^3 - x = 12x\] \[x^3 - 13x = 0\] Fatorando: \[x(x^2 - 13) = 0\] Assim, as soluções são \(x=0\) ou \(x = \pm \sqrt{13}\). Considerando apenas termos positivos, \(x = \sqrt{13}\).
Logo, os termos da PA são: \[\sqrt{13} - 1, \; \sqrt{13}, \; \sqrt{13} + 1\] Esses números satisfazem a relação proposta entre produto e soma dos três termos.
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