Como a aplicação de uma função afim \(f(x) = ax + b\) sobre os termos de uma progressão aritmética afeta a natureza da progressão resultante?

Resposta

Quando aplicamos uma função afim \(f(x) = ax + b\) a uma progressão aritmética, a sequência resultante também é uma progressão aritmética.

Se a razão da progressão inicial for \(r\), a razão da nova progressão será \(ar\).

Exemplo:

Considere a progressão aritmética \(c_n = 4 + (n-1)(-3)\), que é decrescente, pois a razão \(r = -3 < 0\).

Aplique a função \(f(x) = -2x + 7\) em cada termo \(c_n\):

\(d_n = f(c_n) = -2 \cdot c_n + 7 = -2[4 + (n-1)(-3)] + 7\)

Expandindo:

\(d_n = -8 - 2(n-1)(-3) + 7 = -8 + 6(n-1) + 7\)

Reorganizando:

\(d_n = (-1) + 6(n-1)\)

Assim, \(d_n\) também é uma progressão aritmética, agora com razão \(6\), que é positiva e crescente.

Portanto, a função afim transforma a razão da progressão aritmética original multiplicando-a pelo coeficiente \(a\) da função, podendo alterar se a sequência resultante é crescente ou decrescente dependendo do sinal de \(a\).