Flashcard FC189615
Como calcular a soma dos termos de uma progressão aritmética para determinar o número máximo de elementos em uma sequência limitada por um valor total?
Progressão Aritmética
CESGRANRIO · 2011
Como calcular a soma dos termos de uma progressão aritmética para determinar o número máximo de elementos em uma sequência limitada por um valor total?
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Resposta
Usamos a fórmula da soma dos n primeiros termos da progressão aritmética:\(S_n = \frac{(a_1 + a_n) \cdot n}{2}\), onde \(a_1\) é o primeiro termo, \(a_n\) o enésimo termo, e \(n\) o número de termos.
Exemplo:
Considere uma sequência aritmética onde o primeiro termo é 3 e a diferença comum é 5. Queremos saber quantos termos podemos somar até obter uma soma total de no máximo 68.
Temos:
\(a_1 = 3\)
\(d = 5\)
\(a_n = a_1 + (n-1)d = 3 + 5(n-1) = 5n - 2\)
A soma até o termo n é:
\(S_n = \frac{(a_1 + a_n) \cdot n}{2} = \frac{(3 + (5n - 2)) \cdot n}{2} = \frac{(5n + 1) \cdot n}{2} = \frac{5n^2 + n}{2}\)
Impondo \(S_n \leq 68\), temos:
\(\frac{5n^2 + n}{2} \leq 68 \Rightarrow 5n^2 + n \leq 136\)
Resolvendo a inequação para \(n\):
\(5n^2 + n - 136 \leq 0\)
A solução envolve encontrar as raízes da equação:
\(5n^2 + n - 136 = 0\)
Usando a fórmula de Bhaskara:
\(n = \frac{-1 \pm \sqrt{1 + 4 \cdot 5 \cdot 136}}{2 \cdot 5} = \frac{-1 \pm \sqrt{1 + 2720}}{10} = \frac{-1 \pm \sqrt{2721}}{10}\)
A raiz positiva aproximada é:
\(n \approx \frac{-1 + 52.15}{10} = \frac{51.15}{10} = 5.115\)
Como \(n\) deve ser inteiro, o maior valor possível é \(n = 5\). Portanto, podemos somar até 5 termos sem ultrapassar a soma total de 68.
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Veja como foi cobrado:
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