Flashcard FC189631
Como descobrir se uma sequência \( \{a_n\} \) é uma progressão aritmética a partir da relação \( b_n = r^{a_n} \), sabendo que \( \{b_n\} \) é uma progressão geométrica?
Progressão Geométrica
CESGRANRIO · 2024
Como descobrir se uma sequência \( \{a_n\} \) é uma progressão aritmética a partir da relação \( b_n = r^{a_n} \), sabendo que \( \{b_n\} \) é uma progressão geométrica?
Mostrar resposta e comentário
Resposta
Se os expoentes \( a_n \) formam uma sequência aritmética, então \( \{a_n\} \) é uma progressão aritmética.Quando \( \{b_n\} \) é uma progressão geométrica com razão \( q \), e podemos escrever \( b_n = r^{a_n} \), a sequência \( \{a_n\} \) será uma progressão aritmética porque a multiplicação das potências transforma-se em soma dos expoentes.
Exemplo:
Suponha que \( b_n = 3^{a_n} \) e que \( \{b_n\} \) é uma progressão geométrica com primeiro termo \( b_1 = 3^2 \) e razão \( q = 3^5 \).
Determine \( a_1 \) e a razão da sequência \( \{a_n\} \).
\( b_1 = 3^{a_1} = 3^2 \Rightarrow a_1 = 2 \)
\( q = 3^5 = \frac{b_2}{b_1} = \frac{3^{a_2}}{3^{a_1}} = 3^{a_2 - a_1} \Rightarrow 5 = a_2 - 2 \Rightarrow a_2 = 7 \)
A razão da PA é \( r = a_2 - a_1 = 7 - 2 = 5 \).
Portanto, \( \{a_n\} \) é uma progressão aritmética com primeiro termo 2 e razão 5, confirmando que transformar uma PG em potências pode revelar uma PA nos expoentes.
⬇️ Assista à vídeoaula ⬇️ Aula sobre Progressão Geométrica
Veja como foi cobrado:
https://flashcardsconcursos.com.br/portal/flashcard/188498
Conteúdo do catálogo FC Concursos · Atualizado em