Flashcard FC189640
Como determinar a razão de uma progressão aritmética formada pela soma de termos de uma progressão aritmética com outra sequência dada em função de logaritmos?
Progressão Geométrica
CESGRANRIO · 2014
Como determinar a razão de uma progressão aritmética formada pela soma de termos de uma progressão aritmética com outra sequência dada em função de logaritmos?
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Resposta
A razão da nova progressão aritmética é a diferença entre dois termos consecutivos da sequência definida.Para encontrar a razão de uma progressão aritmética resultante da soma de termos de uma PA e de outra sequência, calcula-se a diferença \( c_{n+1} - c_n \) entre termos consecutivos.
Se a nova sequência for escrita como \( c_n = k a_n + | \log_r(b_n) | \), onde \( \{a_n\} \) é PA com razão \( d \), e \( \{b_n\} \) é PG com razão \( q \), o passo é usar a propriedade dos logaritmos e a característica do valor absoluto para simplificar a expressão do termo geral.
Exemplo:
Considere \( a_n = 5 + 2(n-1) \) (PA de razão 2) e \( b_n = 4 \cdot 3^{n-1} \) (PG de razão 3, termos positivos). Defina \( c_n = 3a_n + | \log_3 b_n | \).
Calculando:
\( a_n = 5 + 2(n-1) \)
\( \log_3 b_n = \log_3 \left(4 \cdot 3^{n-1}\right) = \log_3 4 + (n-1) \)
Então,
\( c_n = 3(5 + 2(n-1)) + | \log_3 4 + (n-1) | = 15 + 6(n-1) + \log_3 4 + (n-1) \) (pois o argumento do valor absoluto é positivo para todo \( n \geq 1 \)).
Simplificando:
\( c_n = (15 + \log_3 4) + 7(n-1) \), que é uma PA de razão 7.
Portanto, a razão da sequência \( \{c_n\} \) é dada pela soma da razão da PA original com o incremento induzido pela parte logarítmica, quando esta também varia linearmente.
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Veja como foi cobrado:
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