Flashcard FC189646
Como demonstrar que uma sequência definida por \( b_n = f(a_n) \), onde \( a_n \) é uma PA, é uma progressão geométrica?
Progressão Geométrica
CESGRANRIO · 2012
Como demonstrar que uma sequência definida por \( b_n = f(a_n) \), onde \( a_n \) é uma PA, é uma progressão geométrica?
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Resposta
Basta mostrar que \( b_n \) pode ser escrita na forma \( b_n = C \cdot q^{n-1} \), caracterizando uma PG.Quando \( a_n \) é uma progressão aritmética com razão \( r \), e \( f(x) = k^x \) é uma função exponencial, a sequência \( b_n = f(a_n) = k^{a_n} \) pode ser reescrita como:
\[ b_n = k^{a_1 + (n-1)r} = k^{a_1} \cdot (k^r)^{n-1} \]
Isso tem a forma geral de uma PG, onde o primeiro termo é \( C = k^{a_1} \) e a razão é \( q = k^r \).
Exemplo prático:
Considere \( a_n \) uma PA com \( a_1 = 2 \) e razão \( r = 3 \). Defina \( f(x) = 2^x \). Então:
\[ b_n = 2^{a_n} = 2^{2 + 3(n-1)} = 2^2 \cdot (2^3)^{n-1} = 4 \cdot 8^{n-1} \]
Portanto, \( b_n \) é uma PG com primeiro termo 4 e razão 8.
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Veja como foi cobrado:
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