Flashcard FC189647
Como calcular o primeiro termo de uma progressão geométrica quando se conhece a razão e a diferença entre dois termos consecutivos?
Progressão Geométrica
CESGRANRIO · 2012
Como calcular o primeiro termo de uma progressão geométrica quando se conhece a razão e a diferença entre dois termos consecutivos?
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Resposta
O primeiro termo é encontrado igualando a diferença dos termos consecutivos à expressão que envolve o primeiro termo e a razão, e resolvendo para \(a_1\).Em uma progressão geométrica (PG), o enésimo termo é dado por \(a_n = a_1 \cdot q^{n-1}\). A diferença entre dois termos consecutivos \(a_n\) e \(a_{n-1}\) é:
\[a_n - a_{n-1} = a_1 \cdot q^{n-1} - a_1 \cdot q^{n-2} = a_1 \cdot q^{n-2}(q - 1)\]
Para encontrar \(a_1\), basta isolar na equação a partir da diferença conhecida.
Exemplo:
Considere uma PG de razão \(q=3\) e que a diferença entre o terceiro e o segundo termos é 18.
Temos:
\[a_3 - a_2 = a_1 \cdot 3^{2} - a_1 \cdot 3^{1} = a_1 \cdot 3 (3 - 1) = a_1 \cdot 3 \cdot 2 = 6a_1\]
Como a diferença é 18, montamos: \(6a_1 = 18\), logo:
\[a_1 = \frac{18}{6} = 3\]
Portanto, o primeiro termo dessa PG é 3.
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Veja como foi cobrado:
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