Flashcard FC189649
Como se relaciona a sequência obtida pelos logaritmos dos termos de uma progressão geométrica com uma progressão aritmética?
Progressão Geométrica
CESGRANRIO · 2011
Como se relaciona a sequência obtida pelos logaritmos dos termos de uma progressão geométrica com uma progressão aritmética?
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Resposta
A sequência dos logaritmos dos termos de uma PG forma uma PA, em que o primeiro termo é o logaritmo do primeiro termo da PG, e a razão é o logaritmo da razão da PG.Em outras palavras, se \( (a_n) \) é uma progressão geométrica com primeiro termo \( a_1 \) e razão \( q \), então a sequência \( b_n = \log_c a_n \) é uma progressão aritmética com
- primeiro termo: \( b_1 = \log_c a_1 \)
- razão: \( r = \log_c q \).
Exemplo:
Considere uma PG com \( a_1 = 16 \) e razão \( q = \frac{1}{2} \).
Temos: \( a_2 = 16 \times \frac{1}{2} = 8 \), \( a_3 = 8 \times \frac{1}{2} = 4 \).
Definindo \( b_n = \log_2 a_n \), calculamos:
\( b_1 = \log_2 16 = 4 \)
\( b_2 = \log_2 8 = 3 \)
\( b_3 = \log_2 4 = 2 \)
A diferença entre os termos é constante:
\( b_2 - b_1 = 3 - 4 = -1 \)
\( b_3 - b_2 = 2 - 3 = -1 \)
Logo, \( (b_n) \) é uma PA com razão \(-1\).
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