Flashcard FC189655
Qual é a relação algébrica que envolve os termos de uma Progressão Geométrica e que permite associar o produto da soma dos quadrados de três termos consecutivos ao quadrado da soma
Progressão Geométrica
CESGRANRIO · 2010
Qual é a relação algébrica que envolve os termos de uma Progressão Geométrica e que permite associar o produto da soma dos quadrados de três termos consecutivos ao quadrado da soma dos produtos de termos consecutivos?
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Resposta
Em uma PG, a relação é:\((x_1^2 + x_2^2 + x_3^2)(x_2^2 + x_3^2 + x_4^2) = (x_1x_2 + x_2x_3 + x_3x_4)^2\).
Exemplo:
Considere a PG com primeiro termo \(x_1 = 2\) e razão \(q = 3\), assim:
\(x_2 = 2 \cdot 3 = 6\)
\(x_3 = 2 \cdot 3^2 = 18\)
\(x_4 = 2 \cdot 3^3 = 54\)
Calcule os termos para a relação:
\((x_1^2 + x_2^2 + x_3^2) = 2^2 + 6^2 + 18^2 = 4 + 36 + 324 = 364\)
\((x_2^2 + x_3^2 + x_4^2) = 6^2 + 18^2 + 54^2 = 36 + 324 + 2916 = 3276\)
Produto: \(364 \times 3276 = 1.192.464\)
Agora, a soma dos produtos:
\(x_1x_2 + x_2x_3 + x_3x_4 = (2 \times 6) + (6 \times 18) + (18 \times 54) = 12 + 108 + 972 = 1092\)
Elevando ao quadrado:
\(1092^2 = 1.192.464\)
Portanto,
\((x_1^2 + x_2^2 + x_3^2)(x_2^2 + x_3^2 + x_4^2) = (x_1x_2 + x_2x_3 + x_3x_4)^2\), confirmando a relação.
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