Como se verifica se uma função é injetora?

Resposta

Para verificar se uma função é injetora, verifica-se se sempre que \( f(x_1) = f(x_2) \) ocorre que \( x_1 = x_2 \).

Por exemplo, considere a função \( f(x) = \frac{2x + 3}{x - 1} \). Para saber se é injetora, suponha que:

\( f(x_1) = f(x_2) \implies \frac{2x_1 + 3}{x_1 - 1} = \frac{2x_2 + 3}{x_2 - 1} \)

Multiplicando cruzado:

\( (2x_1 + 3)(x_2 - 1) = (2x_2 + 3)(x_1 - 1) \)

Expandindo e simplificando, chegamos a conclusão que \( x_1 = x_2 \), o que mostra que a função é injetora.

Uma função é sobrejetora se todo elemento do contradomínio tem pelo menos um correspondente no domínio, ou seja, para todo \( y \) no contradomínio, existe \( x \) no domínio tal que \( f(x) = y \).

Por exemplo, seja \( f(x) = \frac{3x - 2}{x + 4} \) com domínio \( \mathbb{R} \setminus \{-4\} \).

Queremos mostrar que para todo \( k \in \mathbb{R} \setminus \{3\} \), existe \( x \) tal que \( f(x) = k \):

\( \frac{3x - 2}{x + 4} = k \implies 3x - 2 = k(x + 4) \)

\( 3x - 2 = kx + 4k \implies (3 - k)x = 4k + 2 \)

\( x = \frac{4k + 2}{3 - k} \)

Como \( k \neq 3 \), denominador diferente de zero, então para todo \( k \neq 3 \) há um \( x \) que gera esse valor, e a função é sobrejetora em \( \mathbb{R} \setminus \{3\} \).