Como determinar os intervalos de tempo em que uma função quadrática está acima de um determinado valor?

Resposta

Iguala-se a função quadrática ao valor dado e resolve-se a equação do 2º grau para encontrar as raízes.
O intervalo entre as raízes, considerando o formato da parábola, indica onde a função está acima ou abaixo desse valor.

Exemplo:
Considere a função \( f(t) = -2t^2 + 8t + 3 \) e queremos saber para quais valores de \( t \) o valor de \( f(t) \) é maior que 7.

Igualamos:
\( -2t^2 + 8t + 3 = 7 \)
Reorganizando:
\( -2t^2 + 8t - 4 = 0 \)
Multiplicando por \(-1\):
\( 2t^2 - 8t + 4 = 0 \)

Calculando o discriminante:
\( \Delta = (-8)^2 - 4 \cdot 2 \cdot 4 = 64 - 32 = 32 \)

Raízes:
\( t = \frac{8 \pm \sqrt{32}}{2 \cdot 2} = \frac{8 \pm 4\sqrt{2}}{4} = 2 \pm \sqrt{2} \)

Como o coeficiente de \( t^2 \) é negativo, a parábola é voltada para baixo e a função está acima de 7 entre as raízes:

Para \( t \in (2 - \sqrt{2}, 2 + \sqrt{2}) \), temos \( f(t) > 7 \).