Flashcard FC189690
Como se determina a área máxima de um triângulo formado por um ponto sobre uma circunferência e os eixos coordenados usando equações de segundo grau?
Funções e Inequações
CESGRANRIO · 2018
Como se determina a área máxima de um triângulo formado por um ponto sobre uma circunferência e os eixos coordenados usando equações de segundo grau?
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Resposta
Para encontrar a área máxima: utiliza-se a equação da circunferência e expressa-se a área em função de uma variável, levando a uma equação quadrática. Então, aplica-se a fórmula do vértice para encontrar o valor máximo.Explicação detalhada:
Considere um ponto \(P(x,y)\) sobre uma circunferência de raio \(r\), ou seja, \(x^2 + y^2 = r^2\). Se a área do triângulo formado com os eixos é dada por \(A = \frac{x \times y}{2}\), podemos expressar \(y\) em função de \(A\) e \(x\), por exemplo, \(y = \frac{2A}{x}\). Substituindo na equação da circunferência, obtemos uma equação em \(x\) e \(A\), geralmente quadrática em \(x^2\). Para maximizar \(A\), rearranjamos essa equação isolando \(A\) e usamos a fórmula do vértice da parábola para encontrar o valor de \(x\) que maximiza \(A\).
Exemplo:
Suponha um círculo de raio \(10\). O ponto \(P(x,y)\) está no primeiro quadrante e a área do triângulo formado por \(P\) e os eixos é \(A = \frac{x \times y}{2}\).
A equação da circunferência é: \(x^2 + y^2 = 100\).
Expressando \(y = \frac{2A}{x}\), substituímos:
\(x^2 + \left(\frac{2A}{x}\right)^2 = 100\)
\(\Rightarrow x^2 + \frac{4A^2}{x^2} = 100\)
Multiplicando por \(x^2\):
\(x^4 - 100 x^2 + 4A^2 = 0\)
Considerando \(z = x^2\):
\(z^2 - 100 z + 4A^2 = 0\)
Para haver uma solução real, o discriminante deve ser \(\geq 0\), e para maximizar \(A\), aplicamos a fórmula do vértice da parábola em relação a \(z\), encontrando o valor que maximiza \(A\). Dessa forma, determinamos a área máxima do triângulo formado.
Veja como foi cobrado:
https://flashcardsconcursos.com.br/portal/flashcard/188557
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