Como determinar os coeficientes \(a\), \(b\) e \(c\) de uma função quadrática \(g(x) = ax^2 + bx + c\) a partir de informações sobre suas raízes e seu vértice?

Resposta

Utiliza-se o fato de que as raízes satisfazem \(g(x) = 0\) e o vértice satisfaz \(x_v = -\frac{b}{2a}\) e \(g(x_v) = y_v\), para montar um sistema de equações e encontrar \(a\), \(b\) e \(c\).

Explicação:
Para determinar os coeficientes \(a\), \(b\) e \(c\) da função quadrática, usamos as propriedades importantes da função: suas raízes e o vértice.
Sendo \(x_1\) uma raiz, temos \(g(x_1) = 0\).
O vértice está na abscissa \(x_v = -\frac{b}{2a}\) e a ordenada é \(y_v = g(x_v)\).
Essas informações fornecem duas ou mais equações que, em conjunto, permitem resolver o sistema para encontrar os coeficientes.

Exemplo:
Considere uma função quadrática cujo gráfico tem vértice em \(V(2, -3)\) e que passa pela raiz \(x=5\).
Sabemos:
\(g(5) = 0 \Rightarrow 25a + 5b + c = 0 \quad (1)\)
\(x_v = 2 = -\frac{b}{2a} \Rightarrow b = -4a \quad (2)\)
\(g(2) = -3 \Rightarrow 4a + 2b + c = -3 \quad (3)\)
Substituindo (2) em (1) e (3):
(1) \(25a + 5(-4a) + c = 0 \Rightarrow 25a - 20a + c = 0 \Rightarrow 5a + c = 0\)
(3) \(4a + 2(-4a) + c = -3 \Rightarrow 4a - 8a + c = -3 \Rightarrow -4a + c = -3\)
Agora resolvemos:
- De \(5a + c = 0 \Rightarrow c = -5a\)
- Substituindo em \(-4a + c = -3\), temos \(-4a -5a = -3 \Rightarrow -9a = -3 \Rightarrow a = \frac{1}{3}\)
- Logo, \(c = -5 \times \frac{1}{3} = -\frac{5}{3}\) e \(b = -4a = -\frac{4}{3}\)
Assim, os coeficientes são \(a = \frac{1}{3}\), \(b = -\frac{4}{3}\) e \(c = -\frac{5}{3}\).