Como determinar o valor mínimo de uma função quadrática em um intervalo fechado quando o vértice está fora desse intervalo?

Resposta

O valor mínimo ocorre nos extremos do intervalo.

Explicação detalhada:
Quando uma função quadrática tem concavidade para baixo (coeficiente de \( x^2 \) negativo), ela possui um valor máximo no vértice e os valores diminuem nas extremidades do intervalo.
Se o vértice estiver fora do intervalo considerado, o valor máximo não está no domínio dado.
Nesse caso, para encontrar o valor mínimo no intervalo fechado, avalia-se a função apenas nos extremos desse intervalo, pois a função é contínua e o mínimo deve estar num desses pontos.

Exemplo:
Considere a função \( g(x) = -2x^2 + 8x - 3 \) no intervalo \( [3, 5] \).
O vértice está em \( x = -\frac{b}{2a} = -\frac{8}{2 \times (-2)} = 2 \), que está fora do intervalo \( [3,5] \).
Então, avaliamos apenas nos extremos:
\( g(3) = -2(3)^2 + 8 \cdot 3 - 3 = -18 + 24 - 3 = 3 \)
\( g(5) = -2(5)^2 + 8 \cdot 5 - 3 = -50 + 40 - 3 = -13 \)
Portanto, o valor mínimo de \( g \) em \( [3,5] \) é \( -13 \), que ocorre em \( x=5 \).