Como determinar o ponto de mínimo ou máximo de uma função quadrática restrita a um domínio específico?

Resposta

Calcula-se a abscissa do vértice pela fórmula \( x_v = \frac{-b}{2a} \) e verifica-se se ele está dentro do domínio. Se estiver, o extremo ocorre no vértice; se não estiver, o extremo ocorre nas extremidades do domínio.

Para entender melhor, considere a função \( g(x) = 2x^2 - 4x + 1 \) definida no intervalo [0,1].

Calculamos o vértice:

\( x_v = \frac{-(-4)}{2 \times 2} = \frac{4}{4} = 1 \)

O vértice está exatamente em \( x = 1 \), que pertence ao domínio [0,1].

Como o coeficiente \( a = 2 \) é positivo, a parábola é concava para cima e o valor mínimo ocorre no vértice, ou seja, em \( x = 1 \).

Portanto, neste caso, o mínimo de \( g(x) \) no domínio dado ocorre no ponto \( x = 1 \).