Como determinar os coeficientes \( a \), \( b \) e \( c \) de uma função quadrática a partir de seus pontos de interseção com os eixos coordenados?

Resposta

Os coeficientes podem ser encontrados ao substituir os pontos de interseção na forma geral da função quadrática, gerando um sistema de equações para resolver.

Exemplo:

Considere a função \( f(x) = ax^2 + bx + c \) cuja parábola intercepta o eixo y em \( (0, 4) \) e o eixo x em \( (1, 0) \) e \( (4, 0) \).

Como \( f(0) = c = 4 \), já sabemos o valor de \( c \).

Substituindo \( (1,0) \):
\( 0 = a(1)^2 + b(1) + 4 \Rightarrow a + b = -4 \) (1)

Substituindo \( (4,0) \):
\( 0 = a(4)^2 + b(4) + 4 \Rightarrow 16a + 4b = -4 \) (2)

Dividindo (2) por 4:
\( 4a + b = -1 \) (3)

Subtraindo (3) de (1):
\( (a + b) - (4a + b) = -4 - (-1) \Rightarrow -3a = -3 \Rightarrow a = 1 \)

Substituindo \( a = 1 \) em (1):
\( 1 + b = -4 \Rightarrow b = -5 \)

Portanto, a função é \( f(x) = x^2 - 5x + 4 \).