Como determinar a equação da curva formada pelo conjunto dos vértices de uma família de funções quadráticas com parâmetros lineares nos coeficientes?

Resposta

Para encontrar a curva formada pelos vértices de uma família de funções quadráticas, calcula-se o vértice de cada função em função do parâmetro e, em seguida, expressa-se sua coordenada y em função da coordenada x do vértice.

Por exemplo, considere a família de funções \(f_t(x) = x^2 + 4t x + (t-3)\), onde \(t \in \mathbb{R}\). Primeiro, calculamos o x do vértice:

\(x_v = -\frac{b}{2a} = -\frac{4t}{2 \cdot 1} = -2t\)

substituímos na função para encontrar \(y_v\):

\(y_v = f_t(x_v) = (-2t)^2 + 4t(-2t) + (t-3) = 4t^2 - 8t^2 + t - 3 = -4t^2 + t - 3\)

Agora expressamos \(y_v\) em função de \(x_v\): como \(x_v = -2t \Rightarrow t = -\frac{x_v}{2}\), temos:

\(y_v = -4 \left(-\frac{x_v}{2}\right)^2 + \left(-\frac{x_v}{2}\right) - 3 = -4 \cdot \frac{x_v^{2}}{4} - \frac{x_v}{2} - 3 = - x_v^2 - \frac{x_v}{2} - 3\)

Assim, o conjunto dos vértices forma a curva definida por \(y = -x^2 - \frac{x}{2} - 3\).