Flashcard FC189706
Qual é a relação entre o valor do vértice de uma função quadrática e a média aritmética de suas raízes?
Funções e Inequações
CESGRANRIO · 2010
Qual é a relação entre o valor do vértice de uma função quadrática e a média aritmética de suas raízes?
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Resposta
A média aritmética das raízes é igual à abscissa do vértice da parábola.Para uma função quadrática \(f(x) = ax^2 + bx + c\), o vértice está em \(x_v = -\frac{b}{2a}\). Como as raízes \(x_1\) e \(x_2\) satisfazem \(x_1 + x_2 = -\frac{b}{a}\), então a média das raízes é \(\frac{x_1 + x_2}{2} = -\frac{b}{2a} = x_v\).
Exemplo:
Considere a função \(g(x) = 2x^2 - 8x + 6\).
O vértice está em:
\(x_v = -\frac{-8}{2 \times 2} = \frac{8}{4} = 2\)
As raízes são encontradas por:
\(2x^2 - 8x + 6 = 0\)
Dividindo tudo por 2:
\(x^2 - 4x + 3 = 0\)
Calculando as raízes:
\(x = \frac{4 \pm \sqrt{(-4)^2 - 4 \times 1 \times 3}}{2} = \frac{4 \pm \sqrt{16 - 12}}{2} = \frac{4 \pm 2}{2}\)
Assim, \(x_1 = 1\) e \(x_2 = 3\).
Então, a média aritmética das raízes é:
\(\frac{1 + 3}{2} = 2\), que coincide com o \(x_v\).
Veja como foi cobrado:
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