Flashcard FC189711
Como determinar os intervalos em que uma inequação quadrática é verdadeira a partir da fatoração do polinômio?
Funções e Inequações
CESGRANRIO · 2010
Como determinar os intervalos em que uma inequação quadrática é verdadeira a partir da fatoração do polinômio?
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Resposta
Para encontrar os intervalos de verdade de uma inequação quadrática, fatora-se o polinômio, identifica-se as raízes e analisa-se o sinal da função em cada intervalo definido por essas raízes.Por exemplo, considere a inequação \(x^2 - 5x + 6 < 0\):
\(x^2 - 5x + 6 = (x - 2)(x - 3)\)
As raízes são \(x = 2\) e \(x = 3\).
Verificamos os sinais:
1. Para \(x < 2\): \((x-2)<0\) e \((x-3)<0\), produto positivo, logo \(> 0\).
2. Para \(2 < x < 3\): \((x-2)>0\) e \((x-3)<0\), produto negativo, logo \(< 0\).
3. Para \(x > 3\): \((x-2)>0\) e \((x-3)>0\), produto positivo, logo \(> 0\).
Exemplo:
Determine para quais valores de \(x\) a inequação \(x^2 - 5x + 6 < 0\) é verdadeira:
Como visto, a inequação é verdadeira onde o produto dos fatores é negativo, ou seja, no intervalo \(\mathbf{2 < x < 3}\).
Assim, o método consiste em:
1. Factorar o polinômio.
2. Encontrar as raízes.
3. Analisar o sinal do produto dos fatores nos intervalos.
4. Determinar para quais intervalos a inequação se mantém verdadeira.
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