Flashcard FC189712
Como determinar o conjunto solução de uma inequação do tipo \(\dfrac{f(x)}{g(x)} \geq 0\), considerando os sinais das funções \(f(x)\) e \(g(x)\)?
Funções e Inequações
CESGRANRIO · 2010
Como determinar o conjunto solução de uma inequação do tipo \(\dfrac{f(x)}{g(x)} \geq 0\), considerando os sinais das funções \(f(x)\) e \(g(x)\)?
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Resposta
Para a inequação \(\dfrac{f(x)}{g(x)} \geq 0\), o conjunto solução é obtido onde as funções \(f(x)\) e \(g(x)\) têm sinais iguais (ambas positivas ou ambas negativas), excluindo os pontos onde o denominador é zero.Explicação:
Para resolver \(\dfrac{f(x)}{g(x)} \geq 0\), analisamos os sinais de \(f(x)\) e \(g(x)\) separadamente.
O quociente será positivo ou zero quando:
• \(f(x) \geq 0\) e \(g(x) > 0\), ou
• \(f(x) \leq 0\) e \(g(x) < 0\).
É importante excluir os valores que anulam \(g(x)\), já que a divisão por zero não é definida.
Exemplo:
Considere \(f(x) = x^2 - 4\) e \(g(x) = x - 1\).
• Solução de \(f(x) = 0 \Rightarrow x^2 - 4 = 0 \Rightarrow x = \pm 2\). Sendo uma parábola que concava para cima, temos \(f(x) \geq 0\) em \((-\infty, -2] \cup [2, +\infty)\) e \(f(x) < 0\) em \((-2, 2)\).
• Solução de \(g(x) = 0 \Rightarrow x = 1\). Como é uma reta crescente, \(g(x) < 0\) em \((-\infty, 1)\) e \(g(x) > 0\) em \((1, +\infty)\).
Agora, para \(\dfrac{f(x)}{g(x)} \geq 0\), encontramos onde:
• \(f(x) \geq 0\) e \(g(x) > 0 \Rightarrow [2, +\infty) \cap (1, +\infty) = [2, +\infty)\),
• \(f(x) \leq 0\) e \(g(x) < 0 \Rightarrow (-2, 2) \cap (-\infty, 1) = (-2, 1)\).
Portanto, o conjunto solução é \((-2, 1) \cup [2, +\infty)\), excluindo \(x=1\) (ponto onde \(g(x) = 0\) e a expressão não é definida).
Veja como foi cobrado:
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