Como determinar o tempo necessário para que uma função exponencial ultrapasse outra função exponencial, utilizando inequações e logaritmos?

Resposta

Para encontrar o tempo em que uma função exponencial ultrapassa outra, montamos uma inequação que compara as duas funções e isolamos a variável usando logaritmos.

Explicação:
Considere duas funções exponenciais: \(f(n) = a \times r_1^n\) e \(g(n) = b \times r_2^n\), onde \(a, b > 0\) e \(r_1, r_2 > 0\).

Queremos descobrir o valor de \(n\) para que \(g(n) > f(n)\):

\(b \times r_2^n > a \times r_1^n\)

Dividindo ambos os lados por \(a \times r_1^n\), temos:

\(\left(\frac{r_2}{r_1}\right)^n > \frac{a}{b}\)

Aplicando logaritmo em ambos os lados:

\(n \times \log \left(\frac{r_2}{r_1}\right) > \log \left(\frac{a}{b}\right)\)

Finalmente, isolamos \(n\):

\(n > \frac{\log \left(\frac{a}{b}\right)}{\log \left(\frac{r_2}{r_1}\right)}\)

Exemplo:
Suponha que uma população A começa com 500 indivíduos e cresce 5% ao ano, representada por \(f(t) = 500 \times 1{,}05^t\). Outra população B começa com 300 indivíduos, crescendo 10% ao ano, dada por \(g(t) = 300 \times 1{,}10^t\).

Para saber após quantos anos a população B ultrapassa a A, montamos a inequação:

\(300 \times 1{,}10^t > 500 \times 1{,}05^t\)

\(\left(\frac{1{,}10}{1{,}05}\right)^t > \frac{500}{300} = \frac{5}{3} \approx 1{,}667\)

Aplicando logaritmos:

\(t \times \log\left(\frac{1{,}10}{1{,}05}\right) > \log 1{,}667\)

Calculando aproximações (suponha base 10):
\(\log 1{,}10 \approx 0{,}0414\); \(\log 1{,}05 \approx 0{,}0212\);
logo, \(\log \left(\frac{1{,}10}{1{,}05}\right) \approx 0{,}0414 - 0{,}0212 = 0{,}0202\)

\(\log 1{,}667 \approx 0{,}2227\)

Assim:

\(t > \frac{0{,}2227}{0{,}0202} \approx 11,03\)

Portanto, após aproximadamente 11 anos, a população B ultrapassa a população A.