Como converter uma equação exponencial com diferentes bases para uma base comum e resolver para o expoente?

Resposta

Para resolver uma equação exponencial com bases diferentes, devemos escrever as bases como potências da mesma base fundamental, igualar os expoentes e resolver a equação resultante.

Explicação detalhada:

Se temos uma equação do tipo \(a^x = b^y\), e sabemos que \(a = c^m\) e \(b = c^n\), então podemos escrever:

\( (c^m)^x = (c^n)^y \)

Aplicando a potência de potência:

\( c^{mx} = c^{ny} \)

Como a base é a mesma e diferente de 1, podemos igualar os expoentes:

\( mx = ny \)

Daí, basta resolver a equação para a incógnita desejada.

Exemplo:

Resolva para \(k\): \(16^k = 8\).

Sabemos que \(16 = 2^4\) e \(8 = 2^3\), então:

\( (2^4)^k = 2^3 \)

\( 2^{4k} = 2^3 \)

Igualando os expoentes:

\(4k = 3 \Rightarrow k = \frac{3}{4}\)