Flashcard FC189739
Como transformar um logaritmo de base diferente em um logaritmo com outra base para simplificar expressões envolvendo funções compostas?
Funções e Inequações
CESGRANRIO · 2025
Como transformar um logaritmo de base diferente em um logaritmo com outra base para simplificar expressões envolvendo funções compostas?
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Resposta
Transformando o logaritmo para uma base comum usando a mudança de base:Exemplo: Para transformar \( \log_a b \) em base \( c \), utiliza-se:
\( \log_a b = \frac{\log_c b}{\log_c a} \)
Explicação:
Quando lidamos com funções compostas que envolvem potências e logaritmos de bases diferentes, a técnica fundamental é reescrever o logaritmo em uma base que facilite a simplificação. A fórmula da mudança de base permite que transformemos qualquer logaritmo para uma base conveniente.
Por exemplo, suponha que você tenha uma função \( h(x) = 2^{3 \log_4 x} \). Para simplificar, expressamos \( \log_4 x \) na base 2, que é a base do número da potência:
\( \log_4 x = \frac{\log_2 x}{\log_2 4} = \frac{\log_2 x}{2} \)
Substituindo em \( h(x) \):
\( h(x) = 2^{3 \cdot \frac{\log_2 x}{2}} = 2^{\frac{3}{2} \log_2 x} \)
Usando a propriedade \( a^{\log_a b} = b \), temos:
\( h(x) = x^{\frac{3}{2}} \)
Assim, a transformação da base do logaritmo facilita a simplificação em funções compostas envolvendo potências e logaritmos.
Veja como foi cobrado:
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