Como se determina o valor de \(x\) que satisfaz uma equação do tipo \(f(f(x)) = k\) para uma função racional composta?

Resposta

Para encontrar \(x\) tal que \(f(f(x)) = k\), deve-se calcular \(f(x)\), substituir na função novamente para obter \(f(f(x))\), simplificar a expressão resultante e, por fim, igualar a \(k\) para resolver a equação em \(x\).

Explicação:
Quando temos a composição de uma função consigo mesma, \(f(f(x))\), começamos encontrando a expressão de \(f(x)\). Depois, substituímos essa expressão no lugar de \(x\) na função \(f\) novamente, formando uma relação em termos de \(x\).
Após simplificar essa nova função composta, igualamos o resultado ao valor dado (por exemplo, \(k\)) e resolvemos a equação para encontrar o(s) valor(es) de \(x\) que satisfazem essa condição.

Exemplo prático:
Considere a função \(g(x) = \frac{x+2}{x-1}\). Para encontrar \(x\) tal que \(g(g(x)) = 0\):

1. Calcule \(g(x) = \frac{x+2}{x - 1}\).
2. Substitua na composição:
\(g(g(x)) = g\left(\frac{x+2}{x - 1}\right) = \frac{\frac{x+2}{x-1} + 2}{\frac{x+2}{x-1} - 1} \).
3. Simplifique a expressão:
\(\frac{\frac{x+2}{x-1} + \frac{2(x-1)}{x-1}}{\frac{x+2}{x-1} - \frac{x-1}{x-1}} = \frac{\frac{x+2 + 2(x-1)}{x-1}}{\frac{x+2 - (x-1)}{x-1}} = \frac{x+2 + 2x - 2}{x+2 - x + 1} = \frac{3x}{3} = x\).

4. Igualamos a zero:
\(x = 0\).

Assim, a solução para \(g(g(x)) = 0\) é \(x = 0\).
Esse processo exemplifica a técnica geral para resolver equações envolvendo funções compostas.