Como pode-se determinar se a função composta \( h(x) = f(g(x)) \), sendo \( f \) par e \( g \) ímpar, é par ou ímpar?

Resposta

Se \( f \) é par e \( g \) é ímpar, então \( h(x) = f(g(x)) \) é uma função par.

Isso ocorre porque:

\( h(-x) = f(g(-x)) \)

Como \( g \) é ímpar, \( g(-x) = -g(x) \), então:

\( h(-x) = f(-g(x)) \)

Como \( f \) é par, \( f(-y) = f(y) \) para todo \( y \), logo:

\( h(-x) = f(g(x)) = h(x) \)

Portanto, \( h \) é par.

Exemplo:

Considere:

\( f(x) = x^2 \), que é par, pois \( f(-x) = (-x)^2 = x^2 = f(x) \)

\( g(x) = x^3 \), que é ímpar, pois \( g(-x) = (-x)^3 = -x^3 = -g(x) \)

A função composta:

\( h(x) = f(g(x)) = (x^3)^2 = x^6 \)

Verificamos que \( h \) é par:

\( h(-x) = (-x)^6 = x^6 = h(x) \)