Flashcard FC189747
Como identificar e utilizar o período de uma sequência gerada por uma relação recursiva para calcular valores em termos grandes?
Funções e Inequações
CESGRANRIO · 2014
Como identificar e utilizar o período de uma sequência gerada por uma relação recursiva para calcular valores em termos grandes?
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Resposta
Para encontrar valores distantes em uma sequência com padrão repetitivo, é necessário identificar o ciclo (período) da sequência e usar o resto da divisão do termo desejado pelo tamanho do ciclo para localizar o valor correspondente.Exemplo:
Considere a sequência definida por \(a_{n+1} = \frac{a_n + 2}{a_n + 1}\), com \(a_0 = 1\).
Calculando os primeiros termos:
\(a_1 = \frac{1 + 2}{1 + 1} = \frac{3}{2}\)
\(a_2 = \frac{\frac{3}{2} + 2}{\frac{3}{2} + 1} = \frac{\frac{7}{2}}{\frac{5}{2}} = \frac{7}{5}\)
\(a_3 = \frac{\frac{7}{5} + 2}{\frac{7}{5} + 1} = \frac{\frac{17}{5}}{\frac{12}{5}} = \frac{17}{12}\)
\(a_4 = \frac{\frac{17}{12} + 2}{\frac{17}{12} + 1} = \frac{\frac{41}{12}}{\frac{29}{12}} = \frac{41}{29}\)
Não há repetição ainda, porém se a sequência fosse periódica, digamos de período 3, para encontrar \(a_{100}\), calcularíamos \(100 \mod 3 = 1\), logo \(a_{100} = a_1\).
Assim, entender o período e usar o módulo permite determinar rapidamente valores para índices grandes.
Veja como foi cobrado:
https://flashcardsconcursos.com.br/portal/flashcard/188614
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