Qual é a relação entre o grau de um polinômio e o número de trocas de monotonicidade do seu gráfico?

Resposta

O número de trocas de monotonicidade é igual ao grau do polinômio menos 1.

Isso significa que um polinômio de grau \( n \) terá até \( n-1 \) pontos onde a função muda de crescente para decrescente ou vice-versa, indicando os extremos locais.

Exemplo:

Considere a função \( f(x) = x^4 - 4x^3 + 6x^2 - 4x + 1 \), que é um polinômio de grau 4.

O grau é 4, logo o gráfico pode possuir até 3 trocas de monotonicidade.

Observando o gráfico dessa função, identificamos 3 extremos locais, que correspondem justamente às 3 trocas de crescimento e decrescimento.

Assim, para polinômios, o número máximo de trocas de monotonicidade é sempre um a menos que o grau do polinômio.